Petersen核与三次图的奇性

设$G$为一个无桥三次图。考虑$G$的$k$个1-因子的列表。令$E_i$为恰好包含在$k$个1-因子中$i$个里面的边集。令$\mu_k(G)$为$G$的所有$k$个1-因子的列表上$|E_0|$的最小值。若$G$不是3-边可着色的，则$\mu_3(G) \geq 3$。在[E. Steffen, 1-factor and cycle covers of cubic graphs, J. Graph Theory 78(3) (2015) 195-206]中表明，若$\mu_3(G) \not = 0$，则$2 \mu_3(G)$是$G$的围长的一个上界。我们证明$\mu_3(G)$也限定了$G$的奇性$\omega(G)$。我们证明$\omega(G)\leq \frac{2}{3}\mu_3(G)$。若$\mu_3(G) = \frac{2}{3} \mu_3(G)$，则每个$\mu_3(G)$-核具有非常特定的结构。我们称这些核为Petersen核。我们证明对于任一给定奇性，存在循环4-边连通三次图$G$满足$\omega(G) = \frac{2}{3}\mu_3(G)$。另一方面，$\omega(G)$与$\frac{2}{3}\mu_3(G)$之间的差异可任意大。即使我们额外固定奇性，这也成立。此外，对于每个整数$k\geq 3$，存在无桥三次图$G$使得$\mu_3(G)=k$。