质量临界NLS的几乎周期模缩放解的 regularity 及其应用

本文考虑质量临界NLS $iu_t+\Delta u=\pm |u|^{\frac 4d} u$的$L_x^2$解$u$。我们证明，在维度$d\ge 4$中，如果解是球对称的并且是\emph{几乎周期模缩放}的，那么它必然属于某个$\eps>0$的$H_x^{1+\eps}$空间。此外，解的动能随时间一致局部化。该定理的一个重要应用是简化了质量临界NLS的散射猜想的证明，而无需归约为三个敌人（参见Killip-Tao-Visan以及Killip-Visan-Zhang的工作）。作为另一个重要应用，我们建立了具有基态质量的$L_x^2$初值的Liouville型结果。我们证明，如果聚焦质量临界问题的径向$L_x^2$解具有基态质量并且在两个时间方向上都不散射，那么它必须是全局的并且与孤立波在对称性下重合。这里基态是椭圆方程$\Delta Q-Q+Q^{1+\frac 4d}=0$的唯一正径向解。这是在尺度不变空间$L_x^2$中的第一个刚性类型结果。