三维 NLS 方程无穷方差非径向解的发散性

我们考虑三维 NLS 方程 $i\partial_t u + \Delta u + |u|^2u=0$ 的解 $u(t)$，满足 $\|xu(t)\|_{L^2} = \infty$ 且 $u(t)$ 是非径向的。记 $M[u]$ 和 $E[u]$ 分别为解 $u$ 的质量和能量，$Q(x)$ 为方程 $-Q+\Delta Q+|Q|^2Q=0$ 的基态解。我们证明如下结论：如果 $M[u]E[u]<M[Q]E[Q]$ 且 $\|u_0\|_{L^2}\|\nabla u_0\|_{L^2}>\|Q\|_{L^2}\|\nabla Q\|_{L^2}$，那么要么 $u(t)$ 在有限正时间内爆破，要么 $u(t)$ 对所有正时间整体存在，并且存在一个时间序列 $t_n\to +\infty$ 使得 $\|\nabla u(t_n)\|_{L^2} \to \infty$。类似结论对负时间也成立。