具有非局部梯度非线性的退化抛物方程的单位质量解的平衡化

我们证明了正解在 $\int_\Omega u_0=1$ 的情况下对方程 $$u_t = u\Delta u + u\int_{\Omega} |\nabla u|^2, \qquad u\rvert_{\partial\Omega} =0, \qquad u(\cdot,0)=u_0$$ 在具有光滑边界的有界区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$（$n\ge 1$）中的收敛性，并确定当 $t\to \infty$ 时 $u(t)$ 的 $W_0^{1,2}(\Omega)$ 极限为相应稳态问题的解。此行为不同于 $\int_\Omega u_0<1$ 与 $\int_\Omega u_0>1$ 的情形，已知后两者分别导致收敛于零或在有限时间内爆破。证明基于 $\int_{\Omega} |\nabla u|^2$ 沿轨迹的单调性以及相关约束最小化问题的分析。