BCD 型量子 $W_{1+\infty}$ 子代数与对称多项式

ABCD 型无限仿射李代数，亦称 $\widehat{\mathfrak{gl}}(\infty)$、$\widehat{\mathfrak{o}}(\infty)$、$\widehat{\mathfrak{sp}}(\infty)$，等价于量子 $W_{1+\infty}$ 代数的子代数。它们在 Dirac 费米子（$\hat A_\infty$）、Majorana 费米子（$\hat B_\infty$ 与 $\hat D_\infty$）或辛玻色子（$\hat C_\infty$）的 Fock 空间上具有众所周知的表示。针对每种表示，提出了量子 $W_{1+\infty}$ 子代数在 Fock 态上作用的显式公式。这些公式等价于量子环面 $\mathfrak{gl}(1)$ 代数 Fock 表示的\textit{垂直表述}，提供了对\textit{水平表述}费米与玻色表达式的替代。此外，这些代数已知与对称多项式有深刻联系。量子 $W_{1+\infty}$ 生成元的作用导出了这些多项式的 Pieri 类规则与 q-差分方程。在 $\hat B_\infty$ 的特定情形下，得到了由严格划分索引的 $Q$-Schur 多项式的 q-差分方程。