DIM代数中的交换族、可积多体系统与$q,t$矩阵模型

我们将对$W_{1+\infty}$代数不同表示中交换子代数（射线）的考虑扩展到椭圆Hall代数（或等价地，Ding-Iohara-Miki (DIM) 代数 $U_{q,t}(\widehat{\widehat{\mathfrak{gl}}}_1)$）。其优势在于它拥有Miki自同构，这使得所有交换射线等价。与这些射线相关的可积系统成为有限差分系统，并且除了三角Ruijsenaars系统外，并不太为人熟知。我们专注于最简单的多体表示和Fock表示，并推导出椭圆Hall代数 $e_{n,m}$ 所有生成元的显式公式。在单体表示中，它们与$W_{1+\infty}$李代数的$z^nq^{m\hat D}$仅相差归一化；在$N$体情形下，它们被非平凡地推广为Cherednik算子的单项式，其作用限制在对称多项式上。在Fock表示中，所得算子通过$n$个变量的辅助多项式表达，这些多项式定义了留数公式中的权重。我们还讨论了与所构造交换子代数相关的矩阵模型的$q,t$形变。