权重数自由表示、$\frak g$-自同态代数与 Dynkin 多项式

$\frak g$-自同态代数构成一类与半单李代数 $\frak g$ 的伴随表示相关的有趣结合代数。这些代数最近由 A.Kirillov 引入，其使用了术语“族代数”。令 $C_\lambda$ 表示与单 $\frak g$-模 $V_\lambda$ 相联的 $\frak g$-自同态代数。我们的大部分结果涉及 $C_\lambda$ 为交换的情形，即 $V_\lambda$ 为权重数自由的 $\frak g$-模。我们证明 $C_\lambda$ 为多项式代数当且仅当 $\lambda$ 为极小的（minuscule）。我们还一般地刻画了相应仿射簇的不可约分支数目。主要结果是交换 $\frak g$-自同态代数总是 Gorenstein 的。我们显式计算了任意 $\lambda$ 的 $C_\lambda$ 的 Poincaré 级数，并表明在交换情形下分子与 E.B.Dynkin 于 1950 年引入的多项式一致。我们还讨论了交换 $\frak g$-自同态代数与等变上同调之间的联系。