$q$-振子表示的 $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ 的仿射化

我们引入量子仿射代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 的 $q$-振子表示的一个范畴 $\widehat{\mathcal{O}}_{\rm osc}$。我们证明 $\widehat{\mathcal{O}}_{\rm osc}$ 具有一族不可约表示,它自然对应于非扭曲仿射型 $A$ 的量子仿射代数的有限维不可约表示。这是通过构造 $A$ 型量子仿射超代数的 $q$-振子表示范畴来实现的,该范畴插值于这两族不可约表示之间。范畴 $\widehat{\mathcal{O}}_{\rm osc}$ 可视为由 $\mathfrak{gl}_{u+v}$ ($n=u+v$) 的可单位化最高权表示生成的半单张量范畴的量子仿射类比,后者出现在玻色子 Fock 空间上的 $(\mathfrak{gl}_{u+v},\mathfrak{gl}_\ell)$-对偶中。