$F$-次调和函数的定量分层

在本文中，我们研究$F$-次调和函数$u: B_{2}(0^{n})\rightarrow\mathbf{R}$的奇异集，其中$F$是一个次方程（subequation）。奇异集$\mathcal{S}(u)\subset B_{2}(0^{n})$有一个分层$\mathcal{S}^{0}(u)\subset\mathcal{S}^{1}(u)\subset\cdots\subset\mathcal{S}^{k}(u)\subset\cdots\subset\mathcal{S}(u)$，其中若$u$在$x$处没有$(k+1)$-齐次的切函数，则$x\in\mathcal{S}^{k}(u)$。我们定义定量分层$\mathcal{S}_{\eta,r}^{k}(u)$和$\mathcal{S}_{\eta}^{k}(u)=\cap_{r}\mathcal{S}_{\eta,r}^{k}(u)$。当$F$满足切函数的齐次性时，我们证明$dim_{H}\mathcal{S}^{k}(u)\leq k$且$\mathcal{S}(u)=\mathcal{S}^{n-p}(u)$，其中$p$是$F$的Riesz特征。并且对于顶层定量分层$\mathcal{S}_{\eta}^{n-p}(u)$，我们有Minkowski估计$\text{Vol}(B_{r}(\mathcal{S}_{\eta}^{n-p}(u)\cap B_{1}(0^{n})))\leq C\eta^{-1}(\int_{B_{1+r}(0^{n})}\Delta u)r^{p}$。当$F$满足切函数的唯一性时，我们证明$S_{\eta}^{k}(u)$是$k$-可求长的，这意味着$\mathcal{S}^{k}(u)$是$k$-可求长的。当$F$满足切函数的强唯一性时，我们引入单调性条件和$F$-能量的概念。通过使用精细覆盖论证，我们得到了对于$c>0$的集合$\{\Theta(u,x)\geq c\}$的个数的确定上界，其中$\Theta(u,x)$是$F$-次调和函数$u$在$x$处的密度。几何确定的次方程$F(\mathbb{G})$是一类非常重要的次方程（当$p=2$时，$F(\mathbb{G})$满足切函数的齐次性；当$p>2$时，$F(\mathbb{G})$满足切函数的唯一性）。通过引入$\mathbb{G}$-能量的概念并使用定量微分论证，我们得到了定量分层的Minkowski估计$\text{Vol}(B_{r}(\mathcal{S}_{\eta,r}^{k}(u))\cap B_{1}(0^{n}))\leq Cr^{n-k-\eta}$。