通用 Thom-Whitney-a 分层的构造、其函子性及奇异簇的 Sard 型定理

{\bf 构造.} 对于在 0 处具有孤立临界值的支配多项式映射 {$F: K^n\to K^l$}（$K$ 为特征零的代数闭域），我们构造了一个闭 {\it 丛} $G_F \subset T^{*}K^n$。我们将 $G_F$ 限制在 $F^{-1}(0)$ 中 $F$ 的临界点 $Sing(F)$ 上，并将 $Sing(F)$ 划分为具有常数维 $G_F$ 纤维的点的 {\it “拟分层”}。结果表明，T-W-a（Thom 与 Whitney-a）分层在 $F^{-1}(0)$ “附近”存在，当且仅当丛 $G_F$ 的纤维与拟分层光滑点处的切空间正交（例如当 $l=1$ 时）。此外，后者是拟分层不可约分支 $S$ 上的正交补，当且仅当 $S$ 对 {T-W-a} 分层类是 {\bf 通用的}，这意味着对于该类中的任意 $\{S_j'\}_j$, $\Sing (F) = \cup_j S'_j$，存在一个 $S_j'$ 的分支 $S'$，使得 $S\cap S'$ 在 $S$ 和 $S'$ 中都是开且稠密的。{\bf 结果.} 我们证明了仅包含通用层的 T-W-a 分层存在，当且仅当 $G_F$ 的所有纤维是拟分层相应切空间的正交补，并且此时由后者对 $\Sing(F)$ 的划分给出了最粗的 {\it 通用 T-W-a 分层}。关键要素是我们的 {\bf 奇异空间的 Sard 型定理} 版本，其中奇点被认为是非临界的，当且仅当附近的非奇异点是“一致非临界的”（例如，对于支配映射 $F: X \to Z$，这意味着 $F$ 的雅可比矩阵的 $l\times l$ 子式的绝对值之和，其中 $l = \dim (Z)$，不仅不消失，而且被一个正常数与零隔开）。