Schubert 簇的环面退化

设 $G$ 为单连通半单复代数群。固定极大环面 $T$ 与 Borel 子群 $B$，使得 $T\subset B\subset G$。令 $W$ 为 $G$ 相对于 $T$ 的 Weyl 群。对任一 $w\in W$，令 $X_w=\bar {BwB/B}$ 表示对应于 $w$ 的 Schubert 簇。本报告关注如下问题：是否存在 Spec${\bf C}[t]$ 上的平坦族，使得一般纤维为 $X_w$ 而特殊纤维为环面簇？我们处理该问题的方法基于 Lusztig/Kashiwara 的典范/全局基，以及 P. Littelmann 研究、A. Berenstein 与 A. Zelevinsky 精确化的所谓该基的字符串参数化。固定 $w\in W$，令 $P^+$ 为支配权半群。对 all $\lambda\in P^+$，令 ${\cal L}_\lambda$ 为 $G/B$ 上对应于 $\lambda$ 的直线丛。则全局截面的直和 $R_w:=\bigoplus_{\lambda\in P^+}H^0(X_w,{\cal L}_\lambda)$ 带有 $P^+$-分次 ${\bf C}$-代数的自然结构。此外，$T$ 在 $R_w$ 上有自然作用。我们的主要结果可表述为：存在 $R_w$ 的一个 filtration $({\cal F}_m^w)_{m\in{\bf N}}$，使得 (i) 对所有 $m\in{\bf N}$，${\cal F}_m^w$ 与 $R_w$ 的 $P^+$-分次相容，(ii) 对所有 $m\in{\bf N}$，${\cal F}_m^w$ 与 $T$ 的作用相容，(iii) 相伴分次代数为某一有理凸多面锥中整点半群的 ${\bf C}$-代数。该锥的方程由 A. Berenstein 与 A. Zelevinski 从 $G$ 的 Langlands 对偶的基本 Weyl 模中的 $\tilde w_0$-轨道得到。由标准论证，前述定理对退化问题给出肯定回答。