Lie(G)/Lie(B) 的 B-子模与 G/B 中的光滑 Schubert 簇

设 $G$ 是一个不含 $G_2$ 因子的复半单线性代数群，$B$ 是 $G$ 的一个 Borel 子群，$T$ 是 $B$ 中的一个极大环面。旗簇 $G/B$ 是一个射影 $G$-齐次簇，其在单位陪集处的切空间作为 $B$-模同构于 $\text{Lie}(G)/\text{Lie}(B)$。回顾一下，如果 $w$ 是 $(G,T)$ 的 Weyl 群 $W$ 中的一个元素，则 $G/B$ 中的 Schubert 簇 $X(w)$ 定义为 Bruhat 胞腔 $BwB$ 的闭包。在这篇注记中，我们证明 $X(w)$ 是非奇异的当且仅当以下两个条件成立：1) 它的 Poincaré 多项式是回文的；2) 在 $X(w)$ 中通过单位元的 $T$-稳定曲线集的切空间 $TE(X(w))$ 是 $\text{Lie}(G)/\text{Lie}(B)$ 的一个 $B$-子模。这给出了用 $W$ 的组合学表示的 $X(w)$ 光滑的两个充要条件：$\sum_{x\le w} t^{\ell(x)}$ 是回文的，并且 $(G,T)$ 的每个位于负根集（其反射在 $W$ 的 Bruhat 序中小于 $w$）凸包中的根，其（在 $\text{Lie}(G)/\text{Lie}(B)$ 中的）$T$-权空间包含在 $TE(X(w))$ 中。然而，正如我们通过例子所示，当 $G$ 具有 $G_2$ 类型时，这些条件并不刻画光滑的 Schubert 簇。