关于正交 Grassmann 丛中 Schubert 簇的环面商

设 $G=Spin(8n, \mathbb{C})(n\ge 1)$，$T_{G}$ 为 $G$ 的极大环面。令 $P^{\alpha_{4n}}(\supset T_{G})$ 为对应于单根 $\alpha_{4n}$ 的 $G$ 的极大抛物子群。设 $X$ 为 $G/P^{\alpha_{4n}}$ 中一个关于 $T$-线性化极丰富线丛 $\mathcal{L}(2\omega_{4n})$ 容许半稳定点的 Schubert 簇。令 $R=\bigoplus_{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}R_k,$ 其中 $R_k=H^{0}(X, \mathcal{L}^{\otimes k}(2\omega_{4n}))^{T_{G}}.$ 本文中，我们证明对 $n=1$ 且 $X=G/P^{\alpha_4}$，分次 $\mathbb{C}$-代数 $R$ 由 $R_1$ 生成。作为推论，我们证明 $G/P^{\alpha_{4}}$ 的 GIT 商关于 $T_{G}$-线性化极丰富线丛 $\mathcal{L}(2\omega_{4})$ 的下降是射影正规的，并作为极化簇同构于射影空间 $(\mathbb{P}^{2},\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(1))$。进一步，对 $G/P^{\alpha_{4n}}$ (对 $n \geq 2$) 中某些 Schubert 簇，我们证明 $R$ 由 $R_1$ 与 $R_2$ 生成。作为推论，我们证明那些 Schubert 簇的 GIT 商关于 $T_G$-线性化极丰富线丛 $\mathcal{L}(4\omega_{4n})$ 的下降是射影正规的。此外，对 $G = Spin(2n,\mathbb{C})(n \ge 4)$ (相应地，$G=Sp(2n, \mathbb{C}) (n\ge 2)$) 及其极大环面 $T_G$，我们证明 $G/P^{\alpha_{1}}$ 的 GIT 商关于 $T_G$-线性化极丰富线丛 $\mathcal{L}(2\omega_{1})$ 的下降是射影正规的，并作为极化簇同构于射影空间 $(\mathbb{P}^{n-2},\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-2}}(1))$ (相应地，$(\mathbb{P}^{n-1},\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-1}}(1))$)。