关于 Schubert 簇的某些辛商

设 $G/P$ 为广义旗簇,其中 $G$ 为复半单连通李群,$P\subset G$ 为抛物子群。又设 $X\subset G/P$ 为 Schubert 簇。我们考虑 $X$ 到射影空间的标准嵌入,这是通过将 $G/P$ 与紧李群 $K$ 的余伴随轨道等同而得到的,其中 $G=K^{\mathbb C}$。$K$ 的极大环面 $T$ 在射影空间上线性作用且保持 $X$ 不变:令 $\Psi: X \to {\rm Lie}(T)^*$ 为相对于 Fubini-Study 辛形式的矩映射的限制。由 Atiyah 定理,$\Psi(X)$ 是 ${\rm Lie}(T)^*$ 中的凸多胞形。本文中我们证明所有原像 $\Psi^{-1}(\mu)$,$\mu\in \Psi(X)$,都是 $X$ 的连通子空间。进而我们考虑一维子环面 $S\subset T$,以及映射 $f: X\to {\mathbb R}$,它是 $S$ 矩映射到 $X$ 的限制。我们研究形如 $f^{-1}(r)/S$ 的商,其中 $r\in {\mathbb R}$。我们证明在关于 $X$、$S$ 和 $r$ 的某些假设下,这些辛商是(新的)满足 Kirwan 满射定理以及 Tolman 和 Weitsman 对 Kirwan 映射核的刻画的例子(结合 Goresky、Kottwitz 和 MacPherson 的定理,这些结果给出了商的上同调环的显式描述)。文中详细讨论了 ${\mathbb C}^4$ 中 2 平面 Grassmannian $G_2({\mathbb C}^4)$ 中的奇异 Schubert 簇。