Grassmann 流形 $G_{n,2n}$ 的环面商

设 $G_{n,2n}$ 为参数化 $\mathbb{C}^{2n}$ 中 $n$ 维子空间的 Grassmann 流形。 $G_{n,2n}$ 的 Picard 群由一个唯一丰富的线丛 $\mathcal{O}(1)$ 生成。令 $T$ 为 $SL(2n,\mathbb{C})$ 的极大环面，其作用于 $G_{n,2n}$ 与 $\mathcal{O}(1)$。由 \cite[Theorem 3.10, p.764]{Kum}，使得 $\mathcal{O}(k)$ 下降到 GIT 商的最小整数 $k$ 为 $2$。在本文中，我们证明：对于关于 $\mathcal{O}(2)=\mathcal{O}(1)^{\otimes 2}$ 的 $G_{n,2n}$（$n\ge 3$）被 $T$ 的 GIT 商，当以 $\mathcal{O}(2)$ 的下降极化时，不是射影正规的。