复 Grassmann 流形的环面拓扑

具有环面 $T^n=\mathbb{T}^{n}$ 标准作用以及超单形 $\Delta _{n,k}$ 的矩映射类比 $\mu : G_{n,k}\to \Delta _{n,k}$ 的复 Grassmann 流形族 $G_{n,k}$ 是众所周知的。本文通过发展环面几何与环面拓扑的方法研究轨道空间 $G_{n,k}/T^n$ 的结构。我们利用 $G_{n,k}$ 到层 $W_{\sigma}$ 的细分,确定矩映射 $\mu$ 的所有正则点与奇异点,引入容许多面体 $P_\sigma$ 的概念使得 $\mu (W_{\sigma}) = \stackrel{\circ}{P_{\sigma}}$,以及参数空间 $F_{\sigma}$ 的概念,它们共同将 $W_{\sigma}/T^{n}$ 描述为乘积 $\stackrel{\circ}{P_{\sigma}} \times F_{\sigma}$。为给集合 $\cup _{\sigma} \stackrel{\circ}{P_{\sigma}} \times F_{\sigma}$ 找到合适的拓扑,我们引入通用参数空间 $\tilde{\mathcal{F}}$ 与虚拟参数空间 $\tilde{F}_{\sigma}\subset \tilde{\mathcal{F}}$ 的概念,使得存在投影 $\tilde{F}_{\sigma}\to F_{\sigma}$。由此,我们提出一种描述轨道空间 $G_{n,k}/T^n$ 的方法。早先我们证明了由复杂度 $1$ 的标准 $T^4$-作用定义的轨道空间 $G_{4,2}/T^4$ 同胚于 $\partial \Delta _{4,2}\ast \mathbb{C} P^1$。我们在此证明由复杂度 $2$ 的标准 $T^5$-作用定义的轨道空间 $G_{5,2}/T^5$ 同伦等价于通过将圆盘 $D^8$ 沿群 $\pi _{7}(\Sigma ^{4}\mathbb{R} P^2)=\mathbb{Z} _{4}$ 的生成元粘接到空间 $\Sigma ^{4}\mathbb{R} P^2$ 上所得的空间。特别地,$(G_{5,2}/G_{4,2})/T^5$ 同伦等价于 $\partial \Delta _{5,2}\ast \mathbb{C} P^2$。本文的方法与结果是我们的 $(2l,q)$-流形理论的基石。