关于环面轨形上同调类的 Morelli 型表达式

设$X$为$n$维完备环面簇，$\Delta$为晶格$N$中与$X$相关联的扇。对于$\Delta$的每个锥$\sigma$，对应于复环面在$X$上作用的轨道闭包$V(\sigma)$。同调类$\{[V(\sigma)] \mid \dim \sigma=k\}$构成了$H_{n-k}(X,\mathbb{Q})$的一组特定生成元。于是任何$x \in H_{n-k}(X,\mathbb{Q})$都可以写成如下形式：$$x=\sum_{\sigma\in\Delta_X, \dim\sigma=k}\mu(x,\sigma)[V(\sigma)].$$ 一个问题随之产生：是否存在某种规范的方式来表达$\mu(x,\sigma)$。Morelli 在$X$非奇异时给出了答案，且至少对于$x = \mathcal{T}_{n-k}(X)$（即$X$的 Todd 类）成立。然而，他的答案系数取自$N_\mathbb{Q}$中$(n-k+1)$平面的 Grassmann 流形$G_{n-k+1}(N_\mathbb{Q})$上的 0 次有理函数域。他的证明使用了应用于复环面在$X$上作用的全纯叶状结构的 Baum-Bott 留数公式。另一方面，出现了若干在拓扑背景下推广非奇异环面簇的尝试。这类受紧$n$维环面$T$作用的$2n$维广义流形被称为准环面流形、环面流形、环面流形、环面折纸流形、拓扑环面流形等。类似地，也可以考虑环面轨形。与环面轨形$X$相关联的是一个称为$X$的多扇的单纯集$\Delta_X$。一个问题随之产生：Morelli 公式的类似表达式是否对环面轨形成立。本文将证明，至少当有理上同调环$H^*(X)_\mathbb{Q}$由$H^2(X)_\mathbb{Q}$生成时，答案也是肯定的。在此假设下，具有有理系数的等变上同调环$H^*_T(X,\mathbb{Q})$同构于$H^*_T(\Delta_X,\mathbb{Q})$（即多扇$\Delta_X$的面环），并且证明是在$H^*_T(\Delta_X,\mathbb{Q})$上完全使用组合项进行的。