轨道空间 $G_{n,2}/T^n$ 的奇点消解

对于复 Grassmann 流形 $G_{n,2}$ 上环面 $T^n$ 标准作用的轨道空间 $X_{n} = G_{n,2}/T^n$ 的描述问题广为人知,并出现在众多数学问题中。若点 $x\in X_{n}$ 的对应轨道的稳定子非平凡,则称其为临界点。本文引入了 $X_n$ 的奇点概念,为该问题开辟了新途径。证明了对于 $n>4$,临界点集 $\text{Crit}X_n$ 属于我们所定义的奇点集 $\text{Sing}X_{n}$,而 $n=4$ 的情形较为特殊,此时 $\text{Sing}X_4\subset \text{Crit}X_4$,但存在非奇异的临界点。本文的核心结果是构造了带角的光滑流形 $U_n$,$\dim U_n = \dim X_n$,并显式描述了投影 $p_{n} : U_{n}\to X_{n}$,该投影在所定义的意义下消解了空间 $X_n$ 的所有奇点。由此,我们获得了轨道空间 $G_{n,2}/T^n$ 组合结构的描述。此外,$T^n$ 在 $G_{n,2}$ 上的作用是复杂度 $(n-3)$ 作用的一个开创性例子。我们的结果展示了描述正复杂度环面作用轨道空间的一般方法。