由单纯多面体向量着色定义的超椭圆四维流形

环面拓扑为每个具有 $m$ 个面的 $n$ 维单纯凸多面体 $P$ 分配一个具有典范 $\mathbb Z_2^m = (\mathbb Z/2\mathbb Z)^m$ 作用的 $n$ 维实矩角流形 $\mathbb RZ_P$。我们考虑 $\mathbb Z_2^m$ 的子群 $H \subset \mathbb Z_2^m$ 在 $\mathbb RZ_P$ 上的（非自由）作用。轨道空间 $N(P,H) = \mathbb RZ_P/H$ 具有 $\mathbb Z_2^m/H$ 的作用。对于一般的 $n$，我们引入了 $n$ 维多面体 $P$ 的边界上哈密顿 $C(n,k)$-子复形的概念，该概念推广了三维多面体 1-骨架中的哈密顿圈 ($k=2$)、哈密顿 theta 子图 ($k=3$) 和哈密顿 $K_4$-子图 ($k=4$) 的概念。每个 $C(n,k)$-子复形 $C \subset \partial P$ 对应一个子群 $H_C \subset \mathbb Z_2^m$，使得 $N(P,H_C) \simeq S^n$。我们证明在 $n \leqslant 4$ 维时，该对应是双射。任何子群 $H \subset \mathbb Z_2^m$ 定义一个复形 $C(P,H) \subset \partial P$。我们证明每个诱导 $H$ 的哈密顿 $C(n,k)$-子复形 $C \subset C(P,H)$ 对应于流形 $N(P,H)$ 上的一个超椭圆对合 $\tau_C \in \mathbb Z_2^m/H$（即其轨道空间同胚于 $S^n$ 的对合），且在 $n \leqslant 4$ 维时该对应是双射。我们证明对于几何 $\mathbb X = \mathbb S^4$、$\mathbb S^3 \times \mathbb R$、$\mathbb S^2 \times \mathbb S^2$、$\mathbb S^2 \times \mathbb R^2$、$\mathbb S^2 \times \mathbb L^2$ 和 $\mathbb L^2 \times \mathbb L^2$，存在具有 $H$ 的自由作用的紧直角 4-多面体 $P$，使得几何流形 $N(P,H)$ 具有 $\mathbb Z_2^m/H$ 中的超椭圆对合；而对于 $\mathbb X = \mathbb R^4$、$\mathbb L^4$、$\mathbb L^3 \times \mathbb R$ 和 $\mathbb L^2 \times \mathbb R^2$，不存在这样的多面体。