辛坐标下环面流形的 Kähler 几何

Delzant 的一个定理指出，任意维数为 $2n$ 的辛流形 $(M,\om)$，若装备有标准 $n$-环面 $\T^n = \R^{n}/2\pi\Z^n$ 的有效哈密顿作用，则是一个光滑射影环面簇，并且（作为哈密顿 $\T^n$-空间）完全由矩映射 $\phi:M\to\R^n$ 的像——一个凸多面体 $P=\phi(M)\subset\R^n$——所决定。本文中，我们在 $P\times \T^n$ 上使用辛（作用量-角度）坐标，展示了 $M$ 上所有与 $\om$ 相容的环面复结构如何能被 $P$ 上的光滑函数有效地参数化。我们还讨论了一些适于将这种辛坐标方法应用于 Kähler 环面几何的课题，即：极值的 Kähler 度量的显式构造、环面流形的谱性质以及多面体的组合学。