两个 $\mathbb{Z}-$graded 光滑流形类别间的函数

本文考察 $\mathbb{Z}$-graded 光滑流形作为半正式齐次结构，比较其局部模型的两个多项式滤化。在有限维情形下，这些滤化在分量上等价，导致同构的 graded 完备；一般情况下，一个可引申更细的拓扑。依据 Batchelor-Gawedzki 类型定理（Kotov--Salnikov），每个 $\mathbb{Z}$-graded 流形都非标准同构于其对应的 canonical $\mathbb{Z}$-graded 束。有限维情况下，这是零节的形式邻域并带上诱导的齐次结构。在 Kotov-Salnikov 的 graded Borel 引理中，重量-$k$ 函数可从形式邻域推广到相同的重量的光滑函数。本文将此推广为 Borel--Whitney 定理：形式邻域的齐次态射可提升到 Batchelor-Gawedzki 束之间的光滑齐次映射。从范畴论角度看，设 $\mathsf{B}_{\mathbb{Z}}$ 为有限维 $\mathbb{Z}$-graded 向量束的范畴，齐次态射为箭头；$\mathsf{Man}_{\mathbb{Z}}$ 为有限维 $\mathbb{Z}$-graded 光滑流形的范畴。函数 $\mathsf{F}\colon \mathsf{B}_{\mathbb{Z}} \to \mathsf{Man}_{\mathbb{Z}}$ 将束映射为其零节的形式邻域。graded Batchelor-Gawedzki 定理和 Borel-Whitney 定理表明 $\mathsf{F}$ 在对象上全且满射。