拓扑量子场论与同伦配边

我们构造一个范畴 $\mathrm{HomCob}$,其对象为{\it 同伦 1-有限生成}拓扑空间,其态射为{\it 余 fibrant 余跨张}(cofibrant cospans)。给定流形-子流形对 $(M,A)$,我们证明从映射类群胚 $\mathrm{MCG}_{M}^{A}$ 的满子群胚以及运动群胚 $\mathrm{Mot}_{M}^{A}$ 的满子群胚(其对象为同伦 1-有限生成)到 $\mathrm{HomCob}$ 存在函子。我们还构造了一族函子 $\mathsf{Z}_G\colon \mathrm{HomCob}\to \mathbf{Vect}$,每个有限群 $G$ 对应一个。这些推广了 Yetter 先前构造的拓扑量子场论,以及 Dijkgraaf-Witten 的一个无扭曲版本。给定空间 $X$,我们证明 $\mathsf{Z}_G(X)$ 可表示为以自然变换类为基的 $\mathbb{C}$-向量空间,这些自然变换类由映射 $\{\pi(X,X_0)\to G\}$ 给出,其中 $X_0\subset X$ 为某个有限代表点集,这表明 $\mathsf{Z}_G$ 是可显式计算的。