拓扑量子场论的范畴方面

本论文介绍了拓扑量子场论中所使用的各种范畴论思想。这些理论被视为从拓扑配边范畴到向量空间范畴的对称幺半函子。在二维情形，它们由 Frobenius 代数分类。在三维情形，并在一定条件下，它们由模范畴分类。这些是特殊类型的范畴，其中编织与扭转等拓扑概念起突出作用。对此类范畴有一种有力的图算微积分，可视为物理学中熟知的 Feynman 图方法的推广。本文引入该方法并逐步以图形激发出必要的代数结构。一大类二维拓扑场论可从使用三角剖分的格规范理论构造获得。在这些理论中，规范群是有限的。我们回顾这一构造，既从原始代数视角也从前面章节发展的图算微积分出发。这一有限规范群玩具模型可在所有维度定义，并堪称最简单的非平凡量子场论。我们借此显式展示该模型在三维产生的模范畴的计算，并将此代数数据与二维中几何地及由三角剖分计算出的相应数据比较。我们以此为例介绍量子场论产生代数结构塔的思想，每一维度通过范畴化过程与前一维度相关。