和集基数的一种解析方法

设 $d$ 为正整数，$U \subset \mathbb{Z}^d$ 为有限集。我们研究 $$\beta(U) : = \inf_{\substack{A , B \neq \emptyset \\ \text{finite}}} \frac{|A+B+U|}{|A|^{1/2}{|B|^{1/2}}},$$ 及其他相关量。我们采用了张量化方法，而这对于加倍常数 $|U+U|/|U|$ 是不可用的。例如，我们证明当 $U$ 是 $\{0,1\}^d$ 的子集时，$$\beta(U) = |U|.$$ 我们的方法平行于用于 Prékopa-Leindler 不等式（Brunn-Minkowski 不等式的积分变体）的方法。