$G(\mathbb{Q}_p)$ 的普通表示与基本代数表示

设 $G$ 为 $\mathbb{Q}_p$ 上的分裂连通约化代数群，且 $G$ 及其对偶群 $\hat{G}$ 均具有连通中心。受 $G(\mathbb{Q}_p)$ 的假设性 p-adic Langlands 对应的启发，我们将一个 n 维普通（即 Borel 取值）表示 $\rho : \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p) \to \hat{G}(E)$ 关联为 $G(\mathbb{Q}_p)$ 在 $E$ 上的一个酉 Banach 空间表示 $\Pi(\rho)^{\mathrm{ord}}$，该表示由主系列表示构建而成。（此处，$E$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张。）我们的构造受 $G$ 的所有基本代数表示的张积的“普通部分”启发。在 $\mathbb{F}_p$ 的有限扩张上存在类似的构造。在后一种情形中，当 $G=\mathrm{GL}_n$ 时，我们在适当的假设下证明 $\Pi(\rho)^{\mathrm{ord}}$ 出现于紧酉群上同调的 $\rho$-部分中。我们还在 p-adic 情形中证明了该结果的较弱版本。