Cahn-Hilliard图像修复模型中保真度系数的最优控制

我们考虑一个由A. Bertozzi等人提出的图像修复模型，该模型基于Cahn-Hilliard型方程。该方程描述了一个序参量的演化，该序参量表示占据一个有界二维区域的原始图像的近似。假设给定图像在一个固定子区域内受损，该方程的特征在于一个线性反应项。该项乘以所谓的保真度系数，该系数是定义在未受损区域上的一个严格正的有界函数。其思想是，给定一个初始图像，序参量向给定图像演化，并且只要保真度系数足够大，这个过程就能通过受损区域的边界适当扩散，从而修复受损图像。在此，我们基于这一事实构建了一个最优控制问题，即我们的代价泛函考虑了保真度系数的大小。假设一个奇异势以确保序参量取值在0和1之间，我们首先分析了控制到状态算子，并证明了至少存在一个最优控制，从而建立了一阶最优性条件的有效性。然后，在适当的假设下，我们证明了二阶最优性条件。