探索冲击滤波 Cahn-Hilliard 方程的复杂图景：从正则化解到熵解

图像修复涉及利用周围区域的信息填充图像中损坏或缺失的部分。在本文中，我们研究了一个受修正 Cahn-Hilliard 方程启发的高度非线性偏微分方程。我们考虑基于冲击滤波器变体的形态学图像增强滤波器，而非仅依赖于像素强度的标准势函数：\begin{align*} \partial_t u &= \Delta \left(-\nu \arctan(\Delta u)|\nabla u| - \mu \Delta u \right)+ \lambda(u_0 - u). \end{align*} 这被称为冲击滤波 Cahn-Hilliard 方程。该方程关于二阶导数是非线性的，带来了显著的数学挑战。为应对这些挑战，我们采用一种特定的逼近论证，通过 Leray-Schauder 不动点定理和 Aubin-Lions 引理建立了一族近似解的存在性。在极限下，我们获得了一种解策略，可借此证明解的存在性与唯一性。证明唯一性涉及 Young 测度和 Kruzhkov 熵型可容许条件。此外，我们采用基于凸分裂思想的数值方法来逼近该非线性偏微分方程的解，并实现快速修复结果。为证明我们方法的有效性，我们将该方法应用于标准二值图像，并与该领域常用的 Cahn-Hilliard 方程变体进行比较。