广义 Suzuki 曲线的 Zeta 函数与自同构群

对于奇素数 $p$、$q_{0}=p^{t}$ 和 $q=p^{2t-1}$，令 $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}$ 为 $$Y^{q}-Y=X^{q_{0}}(X^{q}-X).$$ 的光滑模型。在本文中，确定了 $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}$ 的 $\mathbb{F}_{q^{n}}$-有理点数目及其完全自同构群。此外，给出了该曲线的 L-多项式，并利用 Jacobian J_{\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}} 上的 $\mathbb{F}_{q^{n}}$-有理点数目构造了 $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}$ 的 étale 覆盖，其中一些具有多个有理点。