关于两个 $L_p^n$ 球交集的体积

本注记处理如下问题（其中 $p=1$、$q=2$ 的情形由 Vitali Milman 介绍给我们）：从 $L_p^n$ 球中去掉 $L_q^n$ 球的 $t$ 倍后，剩余体积是多少？回顾 $L_r^n$ 球为集合 $\{(t_1,t_2,\dots,t_n);\ t_i\in{\bf R},\ n^{-1}\sum_{i=1}^n|t_i|^r\le 1\}$，并注意到对 $0<p<q<\infty$，$L_q^n$ 球包含于 $L_p^n$ 球中。在推论 4 中我们证明，在将 Lebesgue 测度标准化使得 $L_p^n$ 球体积为 1 后，对上述问题的答案在 $T<t<{1\over 2}n^ {{1\over p}-{1\over q}}$ 时为 $e^{-ct^pn^{p/q}}$ 阶，其中 $c$ 和 $T$ 依赖于 $p$ 和 $q$ 但不依赖于 $n$。主要定理（定理 3）处理关于 $L_p^n$ 球面表面测度的相应问题。