格点偏差的$L^p$范数

我们估计了$r\Omega-x$中体积与整数点个数之间偏差的$L^{p}$范数，其中$r\Omega-x$是$\mathbb{R}^{d}$中具有光滑边界且严格正曲率的凸体$\Omega$放大因子$r$并平移向量$x$所得，$$\left\{ {\displaystyle\int_{\mathbb R}}{\displaystyle\int_{\mathbb{T}^{d}}}\left\vert \sum_{k\in\mathbb{Z}^{d}}\chi _{r\Omega-x}(k)-r^{d}\left\vert \Omega\right\vert \right\vert ^{p}dxd\mu(r-R) \right\} ^{1/p},$$其中$\mu$是紧支撑于正实轴上的Borel测度且$R\to+\infty$。