格点偏差的混合 $L^p(L^2)$ 范数

我们估计了 $\mathbb{R}^{d}$ 中凸体 $\Omega$ 经伸缩因子 $r$ 伸缩并经向量 $x$ 平移后的 $r\Omega-x$ 的体积与其内部整点数量之间偏差的某些混合 $L^{p}\left( L^{2}\right)$ 范数，$\left\{ {\int_{\mathbb{T}^{d}}}\left( \frac{1}{H} {\int_{R}^{R+H}}\left\vert \sum_{k\in\mathbb{Z}^{d}}\chi _{r\Omega-x}(k)-r^{d}\left\vert \Omega\right\vert \right\vert^{2}dr\right)^{p/2}dx\right\} ^{1/p}.$ 我们获得了 $H$ 固定且 $R\to\infty$ 时的估计，以及 $H\to\infty$ 时的渐近估计。