Monge-Ampère方程在 $W^2_p$ 范数下的收敛速率

我们针对应用于 Monge-Ampère 方程的 Oliker-Prussner 方法建立了离散 $W^2_p$ 范数误差估计。这是通过推广离散 Alexandroff 估计并证明节点函数的接触集包含其二阶差分的信息而得到的。此外，我们证明接触集补集的大小由该方法的一致性所控制。结合这两点观察，我们给出误差估计：若 $p > d$，则 $\|u - u_h\|_{W^2_p} \leq C h^{1/p}$；若 $p \leq d$，则 $\|u - u_h\|_{W^2_p} \leq C h^{1/d} \big(\ln\left(\frac 1 h \right)\big)^{1/d}$。此处常数 $C$ 依赖于 $\|{u}\|_{C^{3,1}(\bar\Omega)}$、维数 $d$ 和常数 $p$。文中给出了二维空间中的数值例子，并证实该估计在若干情形下是紧的。