膨胀多边形中整点 $L^{2}$-偏差的刻画定理

设 $C$ 为一个凸 $d$ 维体。若 $\rho$ 是一个大的正数，则膨胀体 $\rho C$ 包含 $\rho^{d}\left\vert C\right\vert +\mathcal{O}\left( \rho^{d-1}\right)$ 个整点，其中 $\left\vert C\right\vert$ 表示 $C$ 的体积。上述误差估计 $\mathcal{O}\left( \rho^{d-1}\right)$ 在几种情况下可以得到改进。我们关注的是随机投掷在 $\mathbb{R}^{d}$ 中的 $\rho C$ 副本的 $L^{2}$-偏差 $D_{C}(\rho)$。更确切地说，我们考虑 $$D_{C}(\rho):=\left\{ \int_{\mathbb{T}^{d}}\int_{SO(d)}\left\vert \textrm{card}\left( \left( \rho\sigma(C)+t\right) \cap\mathbb{Z}^d\right) - \rho^{d}\left\vert C\right\vert \right\vert ^{2}d\sigma dt\right\} ^{1/2}\ ,$$ 其中 $\mathbb{T}^{d}=$ $\mathbb{R}^{d}/\mathbb{Z}^{d}$ 是 $d$ 维平坦环面，$SO\left( d\right)$ 是行列式为 $1$ 的实正交矩阵组成的特殊正交群。D. Kendall 的一个论证表明 $D_{C}(\rho)\leq c\ \rho^{(d-1)/2}$。如果 $C$ 还满足反向不等式 $\ D_{C}(\rho)\geq c_{1} \ \rho^{(d-1)/2}$，我们称 $C$ 为 $L^{2}$-\emph{正则}。L. Parnovski 和 A. Sobolev 证明了，若 $d>1$，则 $d$ 维单位球是 $L^{2}$-正则的当且仅当 $d\not \equiv 1\ (\operatorname{mod}4)$。在本文中，我们刻画了 $L^{2}$-正则凸多边形。更确切地说，我们证明了一个凸多边形不是 $L^{2}$-正则的，当且仅当它可以内接于一个圆并且关于中心对称。