分布不规则性与平面凸集的几何

我们考虑一个平面凸体 $C$，并证明若干个 Roth 关于分布不规则性定理的类似结果。当 $\partial C$ 为 $\mathcal{C}^{2}$ 而不论曲率如何时，我们证明对 $\mathbb{T}^{2}$ 中任意 $N$ 点集合 $\mathcal{P}_{N}$ 均有锐界 $$\int_{0}^{1}\int_{\mathbb{T}^{2}}\left\vert \mathrm{card}\left( \mathcal{P}_{N}\mathcal{\cap}\left( \lambda C+t\right) \right) -\lambda ^{2}N\left\vert C\right\vert \right\vert ^{2}~dtd\lambda\geqslant cN^{1/2}\;.$$ 当 $\partial C$ 仅为分段 $\mathcal{C}^{2}$ 且不是多边形时，我们证明锐界 % $$\int_{0}^{1}\int_{\mathbb{T}^{2}}\left\vert \mathrm{card}\left( \mathcal{P}_{N}\mathcal{\cap}\left( \lambda C+t\right) \right) -\lambda ^{2}N\left\vert C\right\vert \right\vert ^{2}~dtd\lambda\geqslant cN^{2/5}.$$ 我们还给出介于 $N^{2/5}$ 与 $N^{1/2}$ 之间的各种中间锐结果。我们的证明依赖于 Cassels-Montgomery 引理、有限点集的特设构造，以及关于 $C$ 的特征函数傅里叶变换平均衰减的几何型估计。