关于 $S^1$ 上微扰的 De Gregorio 模型

据猜想,Okamoto、Sakajo 与 Wunsch 提出的 Constantin-Lax-Majda 模型推广(gCLM)$\omega_t + a u\omega_x = u_x \omega$ 可在 $a < 1$ 时由光滑初值发展出有限时间奇点。对于 $a$ 接近且小于 $1$ 的端点情形,我们证明了 gCLM 在圆周上从一类光滑初值出发的有限时间渐近自相似爆破。对于具有相同初值的圆周上 gCLM,若平流强度 $a$ 略大于 $1$,我们证明解整体存在,且 $|| \omega(t)||_{H^1}$ 在大时间以 $O(t^{-1})$ 的速率衰减。两种不同行为之间的转变阈值为 $a=1$,对应于 De Gregorio 模型。