关于三维 Euler 方程 De Gregorio 模型的规律性

我们研究 De Gregorio (DG) 模型 $\omega_t + u\omega_x = u_x \omega$ 在 $S^1$ 上对初值 $\omega_0$ 具周期 $\pi$ 且属于类 $X$ 的正则性:$\omega_0$ 为奇函数且在 $[0,\pi/2]$ 上 $\omega_0 \leq 0$(或 $\omega_0 \geq 0$)。这些符号与对称性质与导致 DG 模型在 $\mathbb{R}$ 上或广义 Constantin-Lax-Majda (gCLM) 模型在 $\mathbb{R}$ 或 $S^1$ 上(带正参数)形成奇点的光滑初值相同。因此,为建立 DG 模型对一般光滑初值的整体正则性(此为 DG 模型的一个猜想),重要一步是排除来自 $X$ 中光滑初值的潜在有限时间爆破。我们通过建立一点爆破判据并证明对初值 $\omega_0 \in H^1 \cap X$ 且 $\omega_0(x) x^{-1} \in L^{\infty}$ 的整体适定性来完成这一点。另一方面,对任意 $\alpha \in (0,1)$,我们构造了一类具 $\omega_0 \in C^{\alpha} \cap C^{\infty}(S^1 \backslash \{0\}) \cap X$ 的初值的有限时间爆破解。我们的结果意味着 DG 模型与 gCLM 模型在 $S^1$ 上发展的奇点可通过更强的平流来阻止。