De Gregorio 修改的 Constantin-Lax-Majda 模型的稳定性与不稳定性

Constantin-Lax-Majda (CLM) 模型及其修改版 De Gregorio 模型因能够模拟 3D Euler 方程的行为而闻名，尤其是其产生有限时间奇点的潜力。环面上 De Gregorio 模型在基态 $-\sin\theta$ 附近的稳定性性质已得到充分研究。然而，在激发态 $-\sin k\theta$（$k\ge 2$）附近的稳定性分析仍具挑战性。本文重点分析环面上 De Gregorio 模型在第一激发态 $-\sin 2\theta$ 附近的稳定性与不稳定性。针对一大类初始数据，本文建立了线性和非线性不稳定性，同时针对另一大类初始数据证明了其非线性稳定性。我们的分析表明，De Gregorio 模型在激发态附近的解行为表现出依赖于初始条件的不同稳定性模式。我们不稳定性分析中的新内容之一包括推导出一个控制解的 Fourier 系数的二阶常微分方程 (ODE)，并考察由该 ODE 产生的正定二次型的谱性质。本文的方法可应用于其他相关模型与问题。