超临界散焦非线性薛定谔系统的有限时间爆破

我们考虑伽利略时空 ${\bf R} \times {\bf R}^d$ 上散焦非线性薛定谔系统 $$i \partial_t + \Delta u = (\nabla_{{\bf R}^m} F)(u) + G$$ 的全局正则性问题，其中场 $u\colon {\bf R}^{1+d} \to {\bf C}^m$ 是向量值的，$F\colon {\bf C}^m \to {\bf R}$ 是光滑势，其在单位球外是正的、相位旋转不变的、且阶为 $p+1$ 齐次的（对于某个指数 $p >1$），并且 $G: {\bf R} \times {\bf R}^d \to {\bf C}^m$ 是光滑、紧支撑的强迫项。这推广了标量散焦非线性薛定谔（NLS）方程，其中 $m=1$ 且 $F(v) = \frac{1}{p+1} |v|^{p+1}$。在本文中，我们研究超临界情形，其中 $d \geq 3$ 且 $p > 1 + \frac{4}{d-2}$。我们证明在此情形下，对于某个足够大的 $m$，存在光滑势 $F$（在单位球外为正且阶为 $p+1$ 齐次），以及光滑紧支撑的初始数据 $u(0)$ 和强迫项 $G$ 的选择，使得解发展出有限时间奇点。事实上，该解相对于时空的抛物缩放是局部离散自相似的。这表明人们无法指望为标量散焦 NLS 建立全局正则性结果，除非使用该方程的一些不被这些散焦非线性薛定谔系统共享的特殊性质。正如作者之前考虑非线性波动方程类似问题的一篇论文那样，基本策略是首先选择 $u$ 的质量、动量和能量密度，然后选择 $u$ 本身，最后设计势 $F$ 以求解所需方程。