在无界域上计算薛定谔方程的解——处于数值算法的边缘

我们解决了一个开放问题，即确定无界域上哪些类的含时线性薛定谔方程以及聚焦和散焦三次与五次非线性薛定谔方程（NLS）可由算法计算。我们证明了这样的算法一般并不存在，从而给出了量子力学中哪些问题可计算的一个实质性分类理论。此外，我们建立了关于哪些问题可以在运行时一致有界（作为所需 $\epsilon$ 近似精度的函数）下被计算的分类。这包括线性和非线性薛定谔方程，我们给出了正结果与负结果，以及关于初态和势的条件，使得存在计算（递归）先验界，从而允许将无界域上的初值问题（IVP）归约为有界域上的 IVP，产生可生成 $\epsilon$ 近似的算法。另外，我们展示了没有任何算法能够判定——事实上也不能验证或证伪——聚焦 NLS 是否会在有限时间内爆破，然而对于散焦 NLS，在初态和势的温和假设下解可被计算。最后，我们展示了无界域上的离散 NLS 方程（聚焦与散焦）的解总能在算法运行时一致有界下被计算。所呈现的算法不仅具有理论意义，而且在应用中高效且易于实现。我们的结果在计算量子力学之外也有影响，并且是可解性复杂度指数（SCI）层级和 Smale 关于计算数学基础的程序的一部分。例如，我们的结果提供了哪些数学问题可由计算机辅助证明解决的分类。