一维空间中双线性与三线性薛定谔估计及其在三次 NLS 与 DNLS 中的应用

在一维空间中，自由薛定谔方程的两个 respectively 三个解之乘积的 Fourier 变换在混合范数以及（第一种情形中带权的）L^p 范数下被估计。将这些估计代入 Fourier 限制范数方法的一个适当变体中，可用于证明三次非线性薛定谔（NLS）方程 Cauchy 问题在数据为函数空间 ^L^r:=^H^r_0 时的局部适定性，其中对 s \in R，空间 ^H^r_s 由范数 ||u_0||_{^H^r_s}:=||^u_0||_{L^r'_\xi}（1/r + 1/r'=1）定义。类似的论证结合规范变换，得到导数非线性薛定谔（DNLS）方程在数据 u_0 \in ^H^r_{1/2} 时 Cauchy 问题的局部适定性。在三次 NLS 的局部结果中，参数 r 可取整个次临界范围 1<r<\infty，而对 DNLS 我们假设 1<r \le 2。在特例 r=2 时，两个结果均与 H^s 尺度上的最优结果一致。此外，关于三次 NLS 方程，通过分解论证表明若 2 \ge r > 5/3，则局部解可全局延拓。