广义 Constantin-Lax-Majda 耗散方程的奇性形成与全局适定性

我们研究 De Gregorio 与 Wunsch 等人提出的实直线上的 Constantin-Lax-Majda 方程（gCLM）的推广 $$\omega_t + a u \omega_x = u_x \omega - \nu \Lambda^{\gamma} \omega, \quad u_x = H \omega ,$$ 其中 $H$ 为 Hilbert 变换，$\Lambda = (-\partial_{xx})^{1/2}$。我们采用 \cite{chen2019finite} 中的方法，通过建立一个近似自相似剖面的非线性稳定性，证明当 $a$ 接近于 $\frac{1}{2}$ 且 $\gamma=2$ 时存在有限时间自相似爆裂。对于 $a>-1$，我们讨论了几类初值数据，并针对不同初值建立了全局适定性与一点爆裂判据。对于 $a\leq-1$，我们证明了具有临界与超临界耗散的 gCLM 的全局适定性。