广义Constantin-Lax-Majda方程中的塌缩、爆裂与全局存在

研究了广义Constantin-Lax-Majda方程解的有限时间奇点形成与全局存在性问题,特别关注控制平流强度的参数$a$的影响。对于无穷域上的解,我们发现了一个新的临界值$a_c=0.6890665337007457\ldots$,在其以下存在有限时间奇点形成,其形式为自相似塌缩,爆裂的空间范围收缩至零。我们在$a=1/2$处找到了一个新的精确解析塌缩解,并证明了对于一般的$a$值,在将解从实空间坐标解析延拓到复平面时存在主导阶复奇点。该奇点控制着塌缩解的主导阶行为。对于$a_c<a\leq1$,我们发现一种爆裂解,其中爆裂区域的空间范围在奇点时刻以无限快的速度扩张。对于$a \gtrsim 1.3$,我们发现解全局存在,且解振幅随时间呈指数型增长。我们还考虑了周期边界条件的情况。对于$a<a_c$,我们识别出类似于实直线情形的塌缩解。对于$a_c<a\le0.95$,我们发现既非扩张也非塌缩的新爆裂解。对于$a\ge 1$,我们识别出解的全局存在。