带耗散的广义Constantin-Lax-Majda方程的精确周期解

我们给出了带耗散项$-\Lambda^\sigma$（其空间傅里叶变换为$\widehat{\Lambda^\sigma}=|k|^\sigma$）的广义Constantin-Lax-Majda（gCLM）方程在周期几何中的精确极点动力学解。gCLM方程是三维不可压缩欧拉方程中奇点形成的简化模型。它包含一个带有参数$a$的对流项，允许对流与涡旋拉伸具有不同的相对权重。gCLM方程受到广泛关注，并作为研究三维欧拉方程奇点形成方法发展的试验平台。此前已有若干通过极点动力学方法在实线上找到的精确解，但周期几何中仅报道过一个此类解。我们推导了$a=0$和$1/2$以及$\sigma=0$和$1$时的新周期解，此时一组（周期重复的）极点在复平面中演化。分析了不同$\sigma$值下解的自相似有限时间爆破，并与作者先前论文中给出的小数据全局适定性理论进行了比较。受精确解的启发，适定性理论被扩展至包含$a=0$、$\sigma\geq0$的情形。讨论了解的若干有趣特征。