涡量模型方程的几何研究

本文包含对一维涡量模型方程 $$\omega_{t} + u\omega_{x} + 2\omega u_{x} = 0, \qquad \omega = H u_{x}, \qquad t\in\mathbb{R},\; x\in S^{1}\,,$$ 的详细几何研究，该方程是广义 Constantin-Lax-Majda 方程的一个特例。Wunsch 证明当 $\operatorname{Diff}(S^{1})$ 赋予右不变齐次 $\dot{H}^{1/2}$-度量时，该方程是其上的欧拉-阿诺德方程。在本文中，我们证明该黎曼度量的指数映射不是弗雷德霍姆的，且截面曲率局部无界。此外，我们证明了一个 Beale-Kato-Majda 型的爆破准则，并随后用它来展示与我们非弗雷德霍姆性结果之间的联系。最后，利用由 C\'ordoba-C\'ordoba 给出的希尔伯特变换不等式的一个新推广，我们将 Castro-C\'ordoba 的一个爆破结果扩展到周期情形以及更广泛的一类初始条件。