负曲率流形上 Schrödinger 演化的几何不确定性原理

本文我们研究在维数 $n\geq2$ 的某些 Cartan-Hadamard 流形上，搭载渐近双曲度量的 Schrödinger 方程关于有界时不变势的不确定性原理。经典的欧几里得空间 Hardy 不确定性原理，如 Escauriaza-Kenig-Ponce-Vega 所著述 (JEMS, 2008；Duke Math. J., 2010)，揭示了 Schrödinger 方程解 $u$ 的刚性现象：在两个不同时间 sufficiently strong 的高斯衰减导致 $u\equiv0$。本文我们表明，尽管缺乏平移不变性和傅里叶表示，类似的刚性在双曲几何中仍然存在。我们的ethods 遵循 Escauriaza-Kenig-Ponce-Vega 的通用策略，几何的本质带来了根本性变化。这使我们能够建立新的 Carleman 估计和对数凸性。与欧几里得情形不同，双曲几何具有指数体积增长和在无穷远处非平凡的测地线逃逸，这从根本上改变了 Schrödinger 演化的传播机制。基于新构建的维里恒等式和近似论证，我们推导出对数凸性。证明对数凸性的主要困难是一般流形上缺乏卷积结构。通过利用指数图和雅可比场，我们在曲率几何上定义了新的 mollifier。同时，为了建立适用于双曲空间的 Carleman 估计，我们引入适用于曲率流形的新权函数。我们的结果凸显了曲率在塑造离散方程的定量唯一性属性方面的作用。