平流与涡旋拉伸的效应

我们证明了 De Gregorio 三维涡量方程模型在 $L^p\cap C^\alpha(\mathbb{R})$ 涡度类（对某些 $\alpha>0$ 和 $p<\infty$）中的有限时间奇异性形成。我们还证明了 Okamoto-Sakajo-Wunsch 模型在光滑初值下于新的参数值范围内形成有限时间奇异性。作为结果，我们得到了表面准地转方程的某些无限能量解（其为 $C^\alpha$-正则）的有限时间奇异性。我们所考虑模型的一个困难在于存在竞争性的\emph{非局部}稳定效应（平流）和失稳效应（涡旋拉伸），它们在标度上大小相同。因此，在没有对解的强控制下，很难确立一种效应对另一种效应的主导。我们猜想 De Gregorio 模型的强解表现出如下行为：对每个 $0<\alpha<1$，存在紧支撑的初始 $\omega_0\in C^\alpha(\mathbb{R})$，其解在有限时间内变得奇异；另一方面，只要 $\omega_0\in L^p\cap C^{1}(\mathbb{R})$（某 $p<\infty$），De Gregorio 方程的解就是整体的。这种二分法似乎是真正的非线性效应，不能仅由标度考虑解释，因为 $C^\alpha$ 空间对每个 $\alpha>0$ 都是标度次临界的。