关于 $\mathbb{C}^n$ 中的 Poincaré-Lelong 方程

在本文中，我们证明了 Poincaré-Lelong 方程 $\partial\overline{\partial}u=f$ 的（全局）解的存在性，其中 $f$ 是一个 $d$-闭的 $(1,1)$ 形式，且属于带高斯测度的加权 Hilbert 空间，即 $L^2_{(1,1)}(\mathbb{C}^n,e^{-|z|^2})$。本文的新颖之处在于应用了针对 $2$-形式的加权 $L^2$ 版本 Poincaré 引理，随后应用 Hörmander 的 Cauchy-Riemann 方程的 $L^2$ 解。在这两种情形中，均使用了相同的权函数 $e^{-|z|^2}$。