具有恰当区间表示的单位区间图在线着色问题

我们将该问题定义为一个算法与构造者之间的双人博弈。博弈以轮次进行。每一轮，构造者给出一个既不包含于、也不包含任何先前所给区间的区间。算法立即且不可撤销地为该区间分配一个尚未分配给任何与其相交区间的颜色。这些区间构成一个单位区间图的区间表示，而这些颜色构成该图的一个恰当着色。对于每个正整数 $\omega$，我们定义值 $R(\omega)$ 为构造者有一种策略迫使算法使用 $R(\omega)$ 种颜色的最大颜色数，且限制条件为所构造的单位区间图不能包含大小为 $\omega+1$ 的团。1981 年，Chrobak 和 Ślusarek 证明了 $R(\omega)\leq2\omega -1$。2005 年，Epstein 和 Levy 证明了 $R(\omega)\geq\lfloor{3\omega/2\rfloor}$。该问题对于 $\omega\geq 3$ 一直悬而未决。2023 年，Biró 和 Curbelo 证明了 $R(3)=5$。在本文中，我们证明 $R(4)=7$。