具有对数回退预算的单位区间图重着色

本文研究动态变化的单位区间图着色问题。在我们的模型中,单位区间一次一个地添加或移除,且必须立即着色,使得任意两个重叠区间不共享同一颜色。每次更新后只允许有限数量的区间被重新着色。每步更新中重着色数量的限制称为回退预算。本文证明,若图始终为 $k$ 可着色,且更新仅由插入组成,则我们能在以 $k$ 种颜色保持正常着色的同时,实现 $O(k^7 \log n)$ 的摊还回退预算。相较于 [Bosek 等, Recoloring Interval Graphs with Limited Recourse Budget. SWAT 2020] 的结果,这在 $k$ 与 $n$ 两方面均是指数级改进。我们以完全动态情形下摊还回退预算 $\Omega(n)$ 的下界补充该结果。我们的增量算法可高效实现。作为独立感兴趣的余果,我们包含了一个关于正常圆弧图着色的新结果。令 $L$ 为某单位圆弧集 $\mathcal{A}$ 中交于一点的最大弧数。我们证明,若存在大小为 $L^2-1$ 的不相交单位弧集 $\mathcal{A}'$ 使得 $\mathcal{A} \cup \mathcal{A}'$ 不包含交于一点的一点的 $L+1$ 条弧,则可用 $L$ 种颜色对 $\mathcal{A}$ 着色。这补充了关于单位圆弧着色的工作,后者给出了用 $L+1$ 种或更多颜色对 $\mathcal{A}$ 着色的充分条件。