区间相对于点的完全动态与运动无冲突着色

我们引入关于一维空间 $\mathbb{R}^1$ 中区间集合 $S$ 相对于点的完全动态无冲突着色问题，目标是在插入和删除操作下为 $S$ 维护一种无冲突着色。一种着色是无冲突的，如果对于包含于某个区间中的每个点 $p$，$p$ 包含于一个区间，该区间的颜色不被任何其他包含 $p$ 的区间所共享。我们研究了所用颜色数量与插入或删除一个区间时重新着色的区间数量之间的权衡。我们的结果包括： - 重新着色次数作为颜色数量函数的下界，这意味着每次更新 $O(1)$ 次重新着色时最坏情况颜色数为 $\Omega(\log n/\log\log n)$，并且任何使用 $O(1/\varepsilon)$ 种颜色的策略需要 $\Omega(\varepsilon n^{\varepsilon})$ 次重新着色； - 一种使用 $O(\log n)$ 种颜色、代价为 $O(\log n)$ 次重新着色的着色策略，以及另一种使用 $O(1/\varepsilon)$ 种颜色、代价为 $O(n^{\varepsilon}/\varepsilon)$ 次重新着色的策略； - 针对特殊情况更强的上下界。我们还考虑了区间连续运动（但没有插入或删除）的动力学情形；这里我们展示如何以每次事件三次重新着色的代价维护一种仅使用四种颜色的着色，并证明这是紧的。